d组积分 | 多元函数积分计算

一、多元函数积分计算

d组积分 | 多元函数积分计算

一先画出积分区域D。极坐标下可表示为0≤r≤1. 0≤θ≤∏/4【直角坐标系中，0≤x²+y²≤1. 0≤x≤y】

=∫(0→∏/4)dθ∫(0→1) sin²θ/cos²θ rdr

=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ∫(0→1) rdr

=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ•1/2r²|(0→1)

=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ•1/2r²|(0→1)

=∫(0→∏/4)dθsin²θ/cos²θ•1/2

=1/2∫(0→∏/4)sin²θ/cos²θdθ

=1/2∫(0→∏/4)(1-cos²θ)/cos²θdθ

=1/2[∫(0→∏/4)1/cos²θdθ-∫(0→∏/4)1dθ]

=1/2[tanθ|(0→∏/4)-θ|(0→∏/4)]

二先画出积分区域D。D既是X-型，也是Y-型.

如果将D看成Y-型.，则D可表示为：y≤x≤√(1-y²),0≤y≤√2/2.

【联立y=√(1-x²),y=x,，求出交点x=√2/2,y=√2/2】

=∫(0→√2/2)dy∫(y→√(1-y²))(y/x)² dx

=∫(0→√2/2)dy[y²•∫(y→√(1-y²)))1/x² dx]

=∫(0→√2/2)dy•y²•(-1/x)|(y→√(1-y²))

=∫(0→√2/2)dy•y²•(-1/√(1-y²)+1/y)

=∫(0→√2/2)y²•(-1/√(1-y²)+1/y)dy

=∫(0→√2/2)(- y²/√(1-y²)+y)dy

=-∫(0→√2/2)y²/√(1-y²)dy+∫(0→√2/2)ydy①

又-∫(0→√2/2)y²/√(1-y²)dy

=-∫(0→√2/2)-yd√（1-y²）

=∫(0→√2/2)yd√（1-y²）

=（y√（1-y²）|(0→√2/2)-∫(0→√2/2)√（1-y²）dy

∴①= 1/4-∏/8+1/2y²|(0→√2/2)

三如果将D看成X-型，由于D的上侧边界是由y=√(1-x^2),y=x两条曲线组成，故D不能用同一组不等式表示，为此，用直线x=√2/2将D分成两部分D1，D2.表示为D1:0≤y≤x,0≤x≤√2/2. D2:0≤y≤√(1-x²),√2/2≤x≤1

=∫(0→√2/2)dx∫(0→y)(y/x)²dy+∫(√2/2→1)dx∫(0→√(1-y²))(y/x)² dy

=∫(0→√2/2)dx•[1/x²•∫(0→x)) y² dy]+∫(√2/2→1)dx•[1/x²•∫(0→√(1-y²)) y² dy]

=∫(0→√2/2)dx•1/x²•(1/3•y³)|(0→x)+∫(√2/2→1)dx•[1/x²•(1/3•y³)|(0→√(1-x²))

=∫(0→√2/2)dx•1/x²•1/3•x³+∫(√2/2→1)dx•1/x²•1/3•√(1-x²)³

=1/3•∫(0→√2/2)xdx+1/3∫(√2/2→1)√(1-x²)³/x²dx②

又∫(√2/2→1)√(1-x²)³/x²dx（令x=sint.当x=√2/2时，t=∏/4,当x=1时。t=∏/2）

=∫(∏/4→∏/2)√(1-sin²t)³/sin²tdsint

=∫(∏/4→∏/2)cos³t/sin²t•costdt

=∫(∏/4→∏/2)(cost)^4/sin²t dt

=∫(∏/4→∏/2)(1-sin²t)²/sin²t dt

=∫(∏/4→∏/2)(1-2sin²t+(sint)^4)/sin²t dt

=∫(∏/4→∏/2)(1/sin²t- 2+ sin²t)dt

=∫(∏/4→∏/2)1/sin²t dt-∫(0→∏/4)2dt+ 1/2∫(1-cos2t)dt

=∫(∏/4→∏/2)1/sin²t dt-∫(0→∏/4)2dt+ 1/2∫(0→∏/4)dt-1/4∫(0→∏/4)cos2td2t

=-cot|(∏/4→∏/2)-2t|(∏/4→∏/2)+1/2t|(∏/4→∏/2)-1/4sin2t|(∏/4→∏/2)

∴②=1/3(5/4-3∏/8)+1/3•∫(0→√2/2)xdx

PS:将区域D看成Y-型会相对简便，因为不用分段讨论。若区域Dx,y型均可，若在考试中最好判断下哪种情况不用分段讨论，再决定用何种型。

二、关于累次积分

1、累次积分是指积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。

2、当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy，从而二重积分可以表示为：

3、由此可以看出二重积分的值是被积函数和积分区域共同确定的。将上述二重积分化成两次定积分的计算，称之为：化二重积分为二次积分或累次积分。

4、二重积分有着广泛的应用，可以用来计算曲面的面积，平面薄片重心，平面薄片转动惯量，平面薄片对质点的引力等等。此外二重积分在实际生活，比如无线电中也被广泛应用。

5、有许多二重积分仅仅依靠直角坐标下化为累次积分的方法难以达到简化和求解的目的。当积分区域为圆域，环域，扇域等，或被积函数为：

6、等形式时，采用极坐标会更方便。

7、在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

8、为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

9、参考资料来源：百度百科-二重积分

三、24个基本积分公式是什么

积分是微分的逆运算，即知道了函数的导函数，反求原函数。在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。主要分为定积分、不定积分以及其他积分。积分的性质主要有线性性、保号性、极大值极小值、绝对连续性、绝对值积分等。

四、面积元素dσ

极坐标系里的二重积分r是指极坐标的极径，表示平面坐标点到原点的距离。

在极坐标中求二重积分的注意事项：

1、在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

2、为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域，其面积为

可得到二重积分在极坐标下的表达式：

当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积。当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值。

二重积分和定积分一样不是函数，而是一个数值。因此若一个连续函数f（x，y）内含有二重积分，对它进行二次积分，这个二重积分的具体数值便可以求解出来。

当f(x,y)在区域D上可积时，其积分值与分割方法无关，可选用平行于坐标轴的两组直线来分割D，这时每个小区域的面积Δσ=Δx·Δy，因此在直角坐标系下，面积元素dσ=dxdy。

在极坐标系下计算二重积分，需将被积函数f（x，y），积分区域D以及面积元素dσ都用极坐标表示。函数f（x，y）的极坐标形式为f（rcosθ，rsinθ）。

为得到极坐标下的面积元素dσ的转换，用坐标曲线网去分割D，即用以r=a，即O为圆心r为半径的圆和以θ=b，O为起点的射线去无穷分割D，设Δσ就是r到r+dr和从θ到θ+dθ的小区域。

五、积分中的估值定理,究竟是什么

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1、如果函数f(x，y)在有界闭区域D上连续，区域D的面积为S，且 m和 M分别是f(x)在D上的最小值和最大值，则mS≤∫∫f(x，y)在D上的二重积分≤MS这就是二重积分的估值定理，如果是一元函数f(x)在区间[a，b]上的定积分，只需把上述估值定理公式中的S改成区间长度 b-a。

2、如区间在[n+1，n]单调递减的函数f(x)的积分，(n+1-n)*f(n+1)<=∫f(x)dx<=f(n)*(n+1-n)，即任意一个函数在闭区间[a，b]上连续他从闭区间[a，b]的定积分，其中m为f(x)在闭区间[a，b]上的最小值，M为最大值。

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3、在对二重积分作计算时，我们要将积分区域用一种典型的不等式组来表示。先考虑xOy平面上一种特殊类型的区域，这种区域的特点是：任何平行于x轴或y轴的直线与这一区域的边界的交点不多于两个，但是它的边界曲线可以包含平行于坐标轴的线段。

4、设D上点的横坐标x的变化范围为[a，b]，D的边界曲线由两个函数上任何一点x，过点x作一直线平行于y轴，此直线与曲线于是点．由此可见，D上以此x值为横坐标的一切点的纵坐标y都满足不等式。

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5、参考资料来源：百度百科——积分估值定理

文章导读：

• 多元函数积分计算
• 关于累次积分
• 24个基本积分公式是什么
• 面积元素dσ
• 积分中的估值定理,究竟是什么

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